§ 2 2. Автономный Осциллятор Ван

будем рассматривать лишь «мягкую» задачу Коши и . ; дано сопоставление осцилляторов. Можно предположить, что “перемежаемость перемежаемостей” может существовать также в неавтономном периодическом осцилляторе под внешним воздействием в присутствии шума. В настоящей статье приведены результаты численного моделирования для данной системы, которые были сопоставлены с теоретическими зависимостями, получено хорошее соответствие. Данные исследования позволяют более детально понять механизмы приводящие к возникновению “перемежаемости перемежаемостей”. Программа «VanDerPol – программа для изучения работы модернизированного генератора Ван-дер-Поля», реализованная в среде разработки Turbo C++, позволяет смоделировать работу модернизированного генератора Ван-дер-Поля. Построение фазового портрета и графика зависимости решений от времени t ведется на основе метода Рунге-Кутта второго порядка.

осциллятор ван дер поля

В работе рассмотрена модель осциллятора Ван дер Поля-Дуффинга с учетом эредитарности, которая была решена с помощью конечно-разностной схемы. С помощью численного решения в зависимости от различных значений управляющих параметров были построены осциллограммы и фазовые траектории. В неконсервативных системах модель линейного гармонического осциллятора не применима. С математической точки зрения это может объясняться тем, что в соответствующем уравнении Лагранжа , записанном для модели математического маятника, отсутствует диссипативная функция, то есть нет возможности для учета силы трения в системе. Для этого в теоретической механике предлагается модифицировать уравнение введением диссипативной функции F в виде . Хорошо известное уравнение Ван дер Поля обладает простой динамикой.

Синхронизация Колебаний Связанных Осцилляторов Ван Дер Поля

методом ускоренной сходимости

осциллятор ван дер поля

Дифференциальное уравнение второго порядка для модели Дуффинга выражается при помощи . Особые узловые точки показывают, что динамическая система, попадающая в область их действия, по криволинейной траектории стремится либо к ним, либо от них. Соответственно если узел устойчив, то он притягивает точки фазового пространства, а если нет – то отталкивает. (рис. 2, В, Г). При этом такой процесс сложно назвать колебательным, скорее это поступательное движение по криволинейной траектории в фазовом пространстве, так как система не колеблется относительно равновесного состояния.

Рассмотрим применение этой методики к конкретным примерам. При этом первый член разложения для Q представляет собой частоту линейной системы си. Свободные параметры (0, coj подбираются осциллятор ван дер поля так, чтобы в решении (3.103) не появлялись секулярные члены. Конечно-разностные схемы для фрактального осциллятора с переменными дробными порядками

Анализ Модели Ван

Оно детально исследовалось многими авторами [1-5] и является классическим примером автоколебательной системы, с помощью которой моделируются многие процессы в различных областях науки и техники [1-12]. Применительно к нему развиты различные приближенные аналитические методы анализа . Точное его решение возможно, естественно, только численными методами; при современной технике оно не вызывает трудностей и наряду с аналитическими методами решения широко используется в учебных пособиях. Настоящий обзор посвящен знаменитому голландскому ученому Балтазару ван дер Полю, который внес ощутимый вклад в развитие радиотехники, физики и математики.

осциллятор ван дер поля

При этом если коэффициент пропорциональности μимеет отрицательный знак, то это так называемое отрицательное трение (инжекция порций энергии в колебательную систему), а если положительный знак – происходит диссипация энергии. При диссипации энергии колебания носят затухающий характер, что, хорошо может наблюдаться в реальном физическом эксперименте. Определим уравнение линейного неконсервативного осциллятора в виде с учетом малости угла отклонения φ≈sin(φ) колеблющегося груза. Отметим различия в колебаниях консервативных и автоколебательных систем. 5 видно, что отсутствие внешнего воздействия (рис.5a) приводит к росту амплитуды и начиная с некоторого момента времени ее значения выходят на постоянный уровень. Далее мы видим сложные по форме колебания, которые по-видимому, говорят о возможности много периодических решений задачи Коши и .

Схематическое изображение математического маятника в системе координат Декарта . Масса подвешенного груза – m, длина подвеса – l,угол отклонения от равновесного состояния – φ Рассматриваемый математический маятник (рис.1) имеет длину подвеса l на нерастяжимой и невесомой нити с массой подвешенного груза m. Нетрудно заметить, что такой маятник, изображенный в двумерной системе координат ,может быть перенесен в одномерную систему с одной координатой в виде угла отклонения φ. Это следует из того, что все остальные переменные рассматриваемой системы могут быть заданы https://www.forexindikator.net/ как константы, например, длина подвеса l или масса груза m.Запишем функцию Лагранжа для данного случая в виде . Таким образом, метод Ван-дер-Поля дает вполне удовлетворительно приближение решения уравнения (3.72). Изложение асимптотических методов разделения движений начнем с эффективного способа решения нелинейных задач теории колебаний, разработанного голландским инженером Ван-дер-Полем. Можно отметить, что в предельном случае () уравнение переходит в классическое уравнение ВПД , поэтому можно считать уравнение частным случаем обобщения уравнения .

Investigation Of Regular And Relaxation Oscillations In The Rayleigh And Van Der Pol Oscillators

Интегро-дифференциальное уравнение ВПД будем называть дробным, или фрактальным уравнением, а процесс, которые оно описывает, будем называть фрактальными, или эредитарными. где – управляющий параметр, – частота, а – амплитуда внешнего воздействия, – параметр фазовой нелинейности, определяющий не изохронность колебаний. Заметим, в уравнении присутствуют нелинейности характерные для осцилляторов Ван дер Поля и Дуффинга . Квадратичная нелинейность в коэффициенте при младшей производной, характеризует автоколебания, а кубическая нелинейность – зависимость периода колебаний от амплитуды. Паровик Р.И. Математическое моделирование нелокальной колебательной системы Дуффинга с фрактальным трением

Под численным методом здесь понимается такая интерпретация математической модели («дискретная модель»), которая доступна для реализации на ЭВМ. Результатом реализации численного метода на ЭВМ является число или таблица чисел. Реализации рис. 2а, б отображают хаотический характер колебаний. Наряду с режимами переключения движений возникают колебания типа “хаос-хаос”. На реализации регулярных колебаний четко видны “низкочастотные” переключения “высокочастотных” колебаний.

Интерфейс программы приведен на рис.6. Якунин А1.А. Алексеева. ИВА1иА1Г СО РАН. Новосибирск. 8 12 октября 2018 г.

  • 8 12 октября 2018 г.
  • [Электрон, ресурс].
  • Попробуйте поставить что нибудь типа и .
  • тогда уж отображение за период рисуйте.
  • рисовать фазовый портрет неавтономной системы это занятие странное.

[Электрон, ресурс]. рисовать фазовый портрет неавтономной системы это занятие странное. тогда уж отображение за период рисуйте. 2)Увеличьте , это усилит “нелинейность”. Попробуйте поставить что нибудь типа и . Начальные условия возьмите приблизительно , .

Лафарга, считал, что «наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается воспользоваться математикой». Большинство реальных процессов описывается нелинейными уравнениями и лишь в первом приближении (при малых значениях параметров, малых отклонениях от равновесия) эти уравнения можно заменить линейными. Пусть, например, требуется исследовать какой-то физический объект, явление, процесс. Другим распространенным явлением в колебательных процессах является отсутствие изохронности, то есть наличие явной функциональной зависимости между циклической частотой ω0 и амплитудой колебаний. Такая зависимость моделируется как ω0~φ2.Осциллятор Дуффинга можно отнести к нелинейным моделям такого типа.

Если для такой механической системы определена функция Лагранжа , то соответственно при подстановке в получится закон эволюции системы осциллятор ван дер поля в дифференциальном виде. Рассмотрим, как эта теория применяется к механической системе математического маятника (рис.1). Рисунок 1.

Метод Ван-дер-Поля позволяет не только определять стационарные режимы, но и изучать характер колебаний в окрестности этих режимов, основываясь на укороченных уравнениях (3.70). Обсудим теперь применение метода Ван-дер-Поля к некоторым задачам, в том числе и тем, для которых построенные ранее прямые разложения оказались непригодны. — не существует, так как затухание в системе не может быть отрицательным. Данное уравнение также было использовано в сейсмологии для моделирования геологических разломов. осциллятор ван дер поля был предложен голландским инженером и физиком Бальтазаром ван дер Полем, во время его работы в компании Philips.

С помощью программы построены осциллограммы и фазовые траектории для эредитарного осциллятора Ван дер Поля-Дуффинга в зависимости от различных значениях управляющих параметров. Построены и исследованы периодические осциллятор ван дер поля движения существенно нелинейных автоколебательных систем, описываемых уравнениями Рэлея и Ван-дер-Поля. С гарантированной относительной и абсолютной погрешностями также построены траектории и предельные циклы.

Учайкина эредитарным процессам посвящена целая глава, там же приведен пример эредитарного осциллятора, который был впервые изучен итальянским математиком В. Вольтерра, а результаты исследований были приведены в его работе . Эффект последействия или эредитарности характеризует зависимость текущего состояния системы от ее предыдущих состояний, необязательно от всех. Математическое описание эффекта осциллятор ван дер поля памяти дается интегро-дифференциальным уравнением, при чем ядро этого уравнения называется функции памяти. В случае, когда функция памяти имеет степенной вид интегро-дифференциальное уравнение переходит в уравнение с производными дробных порядков, которые изучаются в рамках теории дробного исчисления . Исследуется влияние иуассоиовского шума на поведение стохастического осциллятора Ван-дер-Поля.